Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在實(shí)數(shù)m，使f（m）=-a．
（1）試推斷f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明你的理由；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+bx，對于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范圍；
（3）求證：f（m+3）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)存在實(shí)數(shù)m，使f（m）=-a，得到一元二次方程ax²+bx+c+a=0有實(shí)根，用根的根據(jù)式列出△=b²-4a（a+c）≥0，再用f（1）=a+b+c=0，得到a＞0＞c且b=（-a-c），代入以上所得的不等式，化簡得到b≥0．最后得到二次函數(shù)圖象開口向上且對稱軸在y軸的左邊，從而得出f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)題意得：x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的兩根．利用根與系數(shù)的關(guān)系，將|x₁-x₂|²轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的代數(shù)式，再討論以

c

a

為單位的二次函數(shù)，其定義域?yàn)閇-2，-1]，求得|x₁-x₂|²的最大最小值，從而得到|x₁-x₂|的取值范圍；
（3）利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式，設(shè)f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)，再用f（m）=-a代入，得(m-1)(m-

c

a

)=-1＜0，從而得到-2＜

c

a

＜m＜1，所以m+3＞1，再結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，得到f（m+3）＞f（1）=0．

解答：解：（1）∵存在實(shí)數(shù)m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有實(shí)根⇒△=b²-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)=0

，
∴a+b+c=0，結(jié)合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再將a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象開口向上，且關(guān)于直線x=-

b

2a

對稱
∵-

b

2a

＜0，f（x）在[-

b

2a

，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)…（3分）
（2）根據(jù)題意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的兩實(shí)根．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：

x1+x2=- 2b a x1•x2= c a

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 4b2 a2 - 4c a = 4 a2 (b2-ac)= 4 a2 [(a+c)2-ac]

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4(

c

a

+

1

2

)2+3.

，

∵a＞b=-（a+c）．
∴2a＞-c＞0⇒

c

a

＞-2，又a+c=-b≤0，
∴

c

a

≤-1⇒(

c

a

+

1

2

)2∈[

1

4

，

9

4

)．
∴|x1-x2|∈[2，2

3

)，…．（8分）
（3）∵f(1)=0．設(shè)f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)．
∵f（m）=-a，
∴a(m-1)(m-

c

a

)=-a

⇒(m-1)(m- c a )=-1＜0

，
∴

c

a

＜m＜1⇒m＞-2⇒m+3＞1
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的值域、一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系和二次函數(shù)零點(diǎn)的分布和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，是一道難題．