Question

1．設函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知a為正實數(shù)，若不等式f（x）≥（b+$\frac{1}{2}$）x²+ax的解集不為空，求a（b+1）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先確定f（x）的定義域，再求導f′（x）=lnx+x•$\frac{1}{x}$-x=lnx+1-x，f″（x）=$\frac{1}{x}$-1，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡可得lnx-（b+1）x-a≥0，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而可得b+1≤e^-1-a；從而化簡a（b+1）≤ae^-1-a，再令h（a）=ae^-1-a，求導確定函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²的定義域為（0，+∞），
f′（x）=lnx+x•$\frac{1}{x}$-x=lnx+1-x，
f″（x）=$\frac{1}{x}$-1，
故當x∈（0，1）時，f″（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f″（x）＜0，
故f′（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
故f′（x）≤f′（1）=0，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）∵f（x）-[（b+$\frac{1}{2}$）x²+ax]=xlnx-（b+1）x²-ax≥0，
∴l(xiāng)nx-（b+1）x-a≥0，
當b+1≤0時，g（x）=lnx-（b+1）x-a在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故不等式f（x）≥（b+$\frac{1}{2}$）x²+ax的解集一定不為空，
當b+1＞0時，g′（x）=$\frac{1}{x}$-（b+1），
故g（x）在（0，$\frac{1}{b+1}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{b+1}$，+∞）上是減函數(shù)；
故只需使g（$\frac{1}{b+1}$）=ln$\frac{1}{b+1}$-（b+1）$\frac{1}{b+1}$-a≥0，
即-ln（b+1）-1-a≥0，
即ln（b+1）≤-1-a，
故b+1≤e^-1-a；
故a（b+1）≤ae^-1-a，
令h（a）=ae^-1-a，
h′（a）=e^-1-a-ae^-1-a=e^-1-a（1-a）；
故h（a）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
故h_max（a）=h（1）=e^-2；
故a（b+1）的最大值為e^-2．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題與存在性問題的解法．