Question

已知（

x

+

1

3x2

）ⁿ的第五項的二項式系數(shù)與第三項的二項式系數(shù)的比是14：3，求展開式中不含x的項．

Answer 1

分析：由題意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

可得n=10，由（

x

+

1

3x2

）ⁿ的二項展開式的通項公式即可求得展開式中不含x的項．

解答：解：由題意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，
∴n²-5n-50=0，
∴n=10或n=-5（舍）．
∵（

x

+

1

3x2

）¹⁰的二項展開式的通項公式為：T_r+1=

C

r 10

•(x

1

2

)10-r•(

1

3

)r•x^-2r，
∴由

10-5r

2

=0得，r=2．
∴展開式中不含x的項為第三項，T₃=

C

2 10

•(

1

3

)2=5．

點評：本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的概念與性質(zhì)，考查分析與運算能力，屬于中檔題．