Question

已知函數(shù)其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且．
（1）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
（2）若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且，求的最小值;
（3）若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)
（2）1
（3）(－ln2－1，+∞)

（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，+∞)．
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為，點(diǎn)B處的切線斜率為，
故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有．
當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045052744475.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以．
因此
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)等號(hào)成立．
所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，的最小值為1．
（3）當(dāng)或時(shí)，，故．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．
兩切線重合的充要條件是
由（1）式及知，．
由（1）（2）式得，．
設(shè)，
則．
所以是減函數(shù)．
則．
所以．
又當(dāng)且趨近于－1時(shí)，無(wú)限增大，
所以a的取值范圍是．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是．