【題目】已知橢圓:
的中心為
,一個方向向量為
的直線
與
只有一個公共點
(1)若且點
在第二象限,求點
的坐標;
(2)若經(jīng)過的直線
與
垂直,求證:點
到直線
的距離
;
(3)若點、
在橢圓上,記直線
的斜率為
,且
為直線
的一個法向量,且
求
的值.
【答案】(1)(2)見解析(3)9
【解析】
(1)設直線的方程為
,代入橢圓方程
,可得
的方程,運用直線和橢圓只有一個公共點
,可得
,化簡整理,解方程可得
的坐標;
(2)設直線,運用(1)求得
到直線
的距離公式,再由基本不等式可得最大值,即可得證;
(3)直線的方程為
,代入橢圓方程
,可得交點
,求得
,同樣將直線
代入橢圓方程求得
的坐標,可得
,化簡整理即可得到所求值.
解:(1)設直線的方程為
,代入橢圓方程
,
可得,
直線與
只有一個公共點
,可得
,
即有,
化簡可得,
由可得
,
由點在第二象限,可得
,
即為;
(2)證明:設直線,
由(1)可得,
,
則點到直線
的距離
,
當且僅當時,取得等號;
(3)由題意可得直線的方程為
,
代入橢圓方程,可得
,
即有,
,
即有,
將直線的方程
,代入橢圓方程可得,
,
,
即有,
則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學參加詩詞大賽,各答3道題,每人答對每道題的概率均為,且各人是否答對每道題互不影響.
(Ⅰ)用表示甲同學答對題目的個數(shù),求隨機變量
的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)設為事件“甲比乙答對題目數(shù)恰好多2”,求事件
發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列、
滿足:
,
,
,
.
(1)求,
,
,
;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求
的通項公式;
(3)設,若不等式
對任意
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形,一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝木的融合,數(shù)學與藝術審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學方法論意義.如圖,由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于-種分形,具體作法是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線,將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形.
若在圖④中隨機選取-點,則此點取自陰影部分的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(
),過點
(
)的直線
與
交于
、
兩點.
(1)若,求證:
是定值(
是坐標原點);
(2)若(
是確定的常數(shù)),求證:直線
過定點,并求出此定點坐標;
(3)若的斜率為1,且
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,
是橢圓
:
的左右兩個焦點,過
的直線與
交于
,
兩點(
在第一象限),
的周長為8,
的離心率為
.
(1)求的方程;
(2)設,
為
的左右頂點,直線
的斜率為
,
的斜率為
,求
的取值范圍.
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