【題目】已知橢圓的中心為,一個方向向量為的直線只有一個公共點

1)若且點在第二象限,求點的坐標;

2)若經(jīng)過的直線垂直,求證:點到直線的距離

3)若點、在橢圓上,記直線的斜率為,且為直線的一個法向量,且的值.

【答案】12)見解析(39

【解析】

1)設直線的方程為,代入橢圓方程,可得的方程,運用直線和橢圓只有一個公共點,可得,化簡整理,解方程可得的坐標;

2)設直線,運用(1)求得到直線的距離公式,再由基本不等式可得最大值,即可得證;

3)直線的方程為,代入橢圓方程,可得交點,求得,同樣將直線代入橢圓方程求得的坐標,可得,化簡整理即可得到所求值.

解:(1)設直線的方程為,代入橢圓方程

可得,

直線只有一個公共點,可得,

即有,

化簡可得,

可得

由點在第二象限,可得

即為;

(2)證明:設直線

由(1)可得,,

則點到直線的距離

,

當且僅當時,取得等號;

(3)由題意可得直線的方程為,

代入橢圓方程,可得,

即有,,

即有,

將直線的方程,代入橢圓方程可得,

,,

即有,

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