Question

【題目】已知直線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，動(dòng)點(diǎn)在上，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知定點(diǎn)，，為曲線上一點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線交曲線于另一點(diǎn)，求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1 )設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，結(jié)合題意得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用可得出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè) ，設(shè)直線的方程為 ，將該直線方程與曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算得出點(diǎn)，和點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,于是得出軸，根據(jù)幾何性質(zhì)得出的內(nèi)切圓圓心在軸上，且該點(diǎn)與切點(diǎn)的連線與垂直，計(jì)算出的面積和周長(zhǎng)，利用等面積法可得出其內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并換元，將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后利用單調(diào)性可求出的取值范圍.

（1）設(shè)點(diǎn)，則，

所以，.

因?yàn)?/span>，

所以，即.

（2）設(shè)，，，直線與軸交點(diǎn)為，直線與內(nèi)切圓的切點(diǎn)為.

設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程組得，

所以且，所以，

所以直線的方程為，

與方程聯(lián)立得，

化簡(jiǎn)得，解得或.

因?yàn)?/span>，

所以軸，

設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則點(diǎn)在軸上且.

，且的周長(zhǎng)，

，

，

令，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

即的取值范圍為.