Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a_n+1=，n∈N^*，
（1）設(shè)b_n+1=1+，n∈N*，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n+1=•，n∈N*，且{a_n}是等比數(shù)列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，a_n+1===，從而可得，可證
（2）由基本不等式可得，，由{a_n}是等比數(shù)列利用反證法可證明q==1，進(jìn)而可求a₁，b₁
解答：解：（1）由題意可知，a_n+1===
∴
從而數(shù)列{}是以1為公差的等差數(shù)列
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴
從而（*）
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a_n＞0可知q＞0
下證q=1
若q＞1，則，故當(dāng)時(shí)，與（*）矛盾
0＜q＜1，則，故當(dāng)時(shí)，與（*）矛盾
綜上可得q=1，a_n=a₁，
所以，
∵
∴數(shù)列{b_n}是公比的等比數(shù)列
若，則，于是b₁＜b₂＜b₃
又由可得
∴b₁，b₂，b₃至少有兩項(xiàng)相同，矛盾
∴，從而=
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用．