Question

（2013•麗水一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，AB=

1

2

AA1=4，CN=3AN，點(diǎn)M，P，Q分別是AA₁，A₁B₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）求直線AB與平面BMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明直線PQ∥平面BMN，可在平面BMN中找到一條與PQ平行的直線即可，根據(jù)題目給出的P，Q分別是A₁B₁，BC的中點(diǎn)，想到取AB的中點(diǎn)G，連接PG，QG后分別交BM，BN于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)題目給出的線段的長及線段之間的關(guān)系證出

GE

EP

=

GF

FQ

=

1

3

，從而得到EF∥PQ，然后利用線面平行的判定即可得證；
（Ⅱ）求直線AB與平面BMC所成角的正弦值，首先是找角，由題意能夠得到平面BMC⊥平面AMQ，所以直接過A作MQ的垂線
AO，連接BO，在直角三角形AOB中求解∠BAO的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取AB中點(diǎn)G，連結(jié)PG，QG分別交BM，BN于點(diǎn)E，F(xiàn)，
則E，F(xiàn)分別為BM，BN的中點(diǎn)．
而GE∥

1

2

AM，GE=

1

2

AM，GF∥

1

2

AN，GF=

1

2

AN．
且CN=3AN，所以 

GE

EP

=

1

3

，

GF

FQ

=

AN

NC

=

1

3

，
所以

GE

EP

=

GF

FQ

=

1

3

．
所以 EF∥PQ，又 EF?平面BMN，PQ?平面BMN．
所以 PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）解：連接AQ，∵△ABC是等腰三角形，Q是BC的中點(diǎn)，∴AQ⊥BC，連接MQ，
作AO⊥MQ于O，連接BO，∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴MA⊥BC，
又AQ⊥BC，∴BC⊥平面AQM，∴BC⊥AO．
∵AO⊥MQ，∴AO⊥平面BCM，∴∠ABO就是AB與平面ABC所成在角．
在Rt△AQC中，∵∠QAC=60°，∴AQ=2．
在△RtAQM中，∵M(jìn)Q=2

5

，由AM•AQ=MQ•AO，得AO=

AM•AQ

MQ

=

4×2

2 5

=

4 5

5

，
所以sin∠ABO=

AO

AB

=

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了線面角，證明線面平行時，常借助于三角形的中位線得線線平行，求線面角時，關(guān)鍵是把找出的角能夠放在一個易于求解的三角形當(dāng)中，此題是中檔題．