Question

16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=2且a=2cosC+csinB，則△ABC的面積的最大值為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，可得B．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，利用基本不等式的性質(zhì)可得：ac，即可得出三角形面積的最大值．

解答 解：∵a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，
∴cosB=sinB，
∴tanB=1，B∈（0，π）．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB
∴4≥2ac-$\sqrt{2}$ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號．
∴ac≤4+2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$$≤\frac{1}{2}×（4+2\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了余弦定理、三角形面積的計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．