Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，
PA=，E為邊BC上異于B、C的點(diǎn)，且PE⊥ED．
（1）求EC的長(zhǎng)；
（2）求二面角E-PD-A的大�。�

Answer 1

解：（1）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，則PA⊥DE
若PE⊥ED，則DE和面PAE內(nèi)相交的兩直線均垂直
∴DE⊥面PAE，故DE⊥AE．
在底面的平行四邊形ABCD 中，令BE=x
在△ABC中，∠ABC=60°．
于是AE²=1+x²-x
在Rt△AED中，由AD²=AE²+DE²可知：x=1或x=2
依題意x=1，于是有EC=1
（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于M，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接EN
∵PA⊥底面ABCD
∴面PAD⊥底面ABCD
又EM⊥AD，
∴EM⊥面PAD
由三垂線定理知：∠ENM為所求二面角的平面角
過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AD于Q
易知
∴
∴
在Rt△EMN中
∵
∴∠ENM=45°
故所求二面角的大小為45°
分析：（1）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，則PA⊥DE，由于PE⊥ED，故DE⊥面PAE，故DE⊥AE．在底面的平行四邊形ABCD 中，令BE=x，則AE²=1+x²-x，根據(jù)AD²=AE²+DE²可知EC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于M，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接EN，則易知ENM為所求二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AD于Q，從而可求．
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線面垂足，考查面面角，有一定的綜合性．