Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+3sinx-

1

8

-a
（1）求f（x）的最大值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范圍；
（3）若x∈[0，

5π

4

]，關(guān)于x的方程f（x）=0有兩解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)可得函數(shù)的解析式，由二次函數(shù)的知識(shí)可得f（x）的最大值；（2）整理可得a=-2（sinx-

3

4

）²+2，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得：當(dāng)sinx=

3

4

，或-1時(shí)，分別可得a的最值；（3）換元法：令t=sinx∈[-

2

2

，1]，可得a=-2（t-

3

4

）²+2，由二次函數(shù)的知識(shí)可得結(jié)論．

解答：解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=1-2sin²x+3sinx-

1

8

-a=-2（sinx-

3

4

）²+2-a，
又sinx∈[-1，1]，
由二次函數(shù)的知識(shí)可知：
當(dāng)sinx=

3

4

時(shí)，f（x）取最大值2-a；
（2）由f（x）=0可得a=-2（sinx-

3

4

）²+2，
∵sinx∈[-1，1]，由二次函數(shù)的知識(shí)可得：
當(dāng)sinx=

3

4

時(shí)，a=-2（sinx-

3

4

）²+2取最大值2，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，a=-2（sinx-

3

4

）²+2取最小值-

33

8

，
∴a的取值范圍為[-

33

8

，2]；
（3）∵x∈[0，

5π

4

]，
∴t=sinx∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=0可化為-2（t-

3

4

）²+2-a=0，
即a=-2（t-

3

4

）²+2
由二次函數(shù)的知識(shí)可得：
t∈[-

2

2

，

3

4

]是，函數(shù)y=-2（t-

3

4

）²+2單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈[

3

4

，1]，函數(shù)y=-2（t-

3

4

）²+2單調(diào)遞減，
由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)t=

3

4

時(shí)，函數(shù)y=-2（t-

3

4

）²+2取最大值2，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)值y=

15

8

，
∴要使方程有兩解，只需a∈[

15

8

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．