Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列{}滿足,

（I）寫出,并推測的表達式；

（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測  。(Ⅱ)見解析。

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)數(shù)列的前幾項來歸納猜想得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，進一步運用數(shù)學(xué)歸納法來加以證明即可。

解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測    （4分）  

    (Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得當(dāng)n＝1時，命題成立；        

②假設(shè)時,命題成立，即＝2－,       （6分）

那么當(dāng)時, ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,

且＋＋……＋＝2k＋1－  （8分）

∴2k＋1－＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2＝2＋2－,  ＝2－,

即當(dāng)n＝k＋1時,命題成立. 

根據(jù)①②得n∈N+  , ＝2－都成立    （13分）

考點：本題主要考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運用。以及運用數(shù)學(xué)歸納法求證結(jié)論的成立與否。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是猜想的正確性，以及和運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，要注意假設(shè)的運用，推理論證得到證明。