Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[

1

3

，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx當(dāng)a=0時，f（x）=2x-lnx，則f′(x)=2-

1

x

∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴當(dāng)x=

1

2

時，f（x）的極小值為1+ln2，函數(shù)無極大值．
（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，則f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

若a=0，由f'（x）＞0得x＞

1

2

，顯然不合題意
若a≠0∵函數(shù)f（x）區(qū)間[

1

3

，2]是增函數(shù)
∴f'（x）≥0對x∈[

1

3

，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0對x∈[

1

3

，2]恒成立
即 a≥

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1恒成立   故a≥[(

1

x

-1)2-1]max
而當(dāng)x=

1

3

，函數(shù)(

1

x

-1)2-1的最大值為3，∴實數(shù)a的取值范圍為a≥3．