Question

（2010•桂林二模）已知函數(shù)f（x）=ax³-12x²+9x+2，若f（x）在x=1處的切線斜率為-3
（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，2]都有f（t）≥t²-2t-1成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式．再根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）先由（Ⅰ）可f（x）的極大值，從而可求得f（x）[0，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1在x∈[0，2]上恒成立，等價(jià)于t²-2t-1≤2，即可求得t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²-24x+9
∵f（x）在x=1處的切線斜率為-3
∴f′（1）=2a-24+9=-3，∴a=4
∴f（x）=4x³-12x²+9x+2
∴f′（x）=12x²-24x+93（2x-3）（2x-1），
令f′（x）＞0得x＞

3

2

或x＜

1

2

；f′（x）＜0得

1

2

＜x＜

3

2

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），
f（x）的單調(diào)減區(qū)間（

1

2

，

3

2

）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可f（x）的極大值f（

3

2

）=2，
∵f（0）=2，f（2）=4，f(

1

2

)=4
∴f（x）[0，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1在x∈[0，2]上恒成立，等價(jià)于t²-2t-1≤2，
∴t²-2t-3≤0，
解得-1≤t≤3．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用等基礎(chǔ)題知識，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，函數(shù)恒成立的條件．