Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a．
（1）當(dāng)a＞0時，求y=f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系討論a與1的大��；
（2）討論a 是否為0，當(dāng)a≠0時，考慮△=0的情況以及在[-1，1]上具有單調(diào)性用零點定理解決．

解答： 解：（1）因為函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的對稱軸為x=-

1

a

，a＞0，
①當(dāng)-1≤-

1

a

＜0時即a≥1時，函數(shù)的最小值為f（-

1

a

）=

2

a

-3-a；
②當(dāng)-

1

a

＜-1即0＜a＜1時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為f（-1）=2a-2-3-a=a-5；
（2）若a=0，則f（x）=2x-3，令f（x）=0⇒x=

3

2

，不符題意，故a≠0；
當(dāng)f（x）在[-1，1]上有一個零點時，此時

△=0 -1≤- 1 2a ≤1

或者f（1）f（-1）≤0，解得a=

-3- 7

2

或者1≤a≤5；
當(dāng)f（x）在[-1，1]上有兩個零點時，則

a＞0 △=4+8a(3+a)＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＞0 f(1)＞0

或者

a＜0 △＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＜0 f(1)＜0

，
解得a＞5或者a＜

-3- 7

2

；
所以a的取值范圍是（-∞，-

-3- 7

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法以及函數(shù)的零點，體現(xiàn)了討論思想的運用．