Question

19．已知函數(shù)f（x）=k（x+1）²-ln（x+1）（k∈R）．
（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若x軸是曲線y=f（x）的一條切線，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²-ln（x+1），從而求導(dǎo)f′（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}$，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}=0}\\{k（x+1）^{2}-ln（x+1）=0}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²-ln（x+1），
其定義域?yàn)椋?1，+∞）；
f′（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，
故當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）∵f（x）=k（x+1）²-ln（x+1），
∴f′（x）=$\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}$，
又∵x軸是曲線y=f（x）的一條切線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}=0}\\{k（x+1）^{2}-ln（x+1）=0}\end{array}\right.$，
解得，x+1=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及幾何意義的應(yīng)用．