Question

18．已知實(shí)數(shù)x，y分別滿足：（x-3）³+2016（x-3）=a，（2y-3）³+2016（2y-3）=-a，則x²+4y²+4x的最小值是（　　）

• A． 0
• B． 26
• C． 28
• D． 30

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2016x，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系，可得x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)f（x）=x³+2016x，則f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)為增函數(shù)，
∵（x-3）³+2014（x-3）=a，（2y-3）³+2016（2y-3）=-a，
∴（x-3）³+2014（x-3）=-[（2y-3）³+2016（2y-3）]，
即f（x-3）=-f（2y-3），
即f（x-3）=f（3-2y），
∵f（x）=x³+2016x為增函數(shù)，
∴x-3=3-2y，
即x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x得到
z=x²+（6-x）²+4x=2x²-8x+36=2（x-2）²+28≥28，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=2時(shí)取得最小值．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性和二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2016x，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．