Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)f′（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到若f（x）在[1，2]上不單調(diào)，只要極值點(diǎn)出現(xiàn)在這個(gè)區(qū)間就可以，得到對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，從而求m的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-a=

a(1-x)

x

（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）
（2）∵函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線傾斜角為45°，
∴f′（2）=

-a

2

=1，解得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，
則函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因?yàn)間（x）在（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0   g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9．
故m的取值范圍為：-

37

3

＜m＜-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．