Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值分別為M、m，集合A={x|f（x）=x}
（1）若A={1，2}，f（0）=2，求M+m的值
（2）若A={1}，a≥1，記g（a）=M+m，若g(a)=

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，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）的值和集合A的元素為1，2得到關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程，聯(lián)立后求出a、b、c的值，然后運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性求其在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值；
（2）根據(jù)集合A只有一個(gè)元素1，說明方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系把b和c用a表示，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最值，則g（a）=M+m可求，直接代入g(a)=

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求a的值．

解答：解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的兩實(shí)根．
∴

3=- b-1 a 2= 2 a

，解得a=1，b=-2．
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因?yàn)閤∈[-2，2]，根據(jù)函數(shù)圖象可知，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1，即m=1；
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10．
所以M+m=11．
（2）由題意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有兩相等實(shí)根x₁=x₂=1，
根據(jù)韋達(dá)定理得到：

2=- b-1 a 1= c a

，得：a=c，b=-2a+1．
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]
其對(duì)稱軸方程為x=1-

1

2a

又a≥1，故

1

2

≤1-

1

2a

＜1
∴M=f(-2)=9a-2，   m=

4a-1

4a

 
則g（a）=M+m=9a-

1

4a

-1
g（a）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增的，由9a-

1

4a

-1=

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，得a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，考查了方程思想，訓(xùn)練了學(xué)生的運(yùn)算能力，此題屬中檔題．