Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在斜率為1的直線，使其與圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線y=x²-6x+1與方程的對應關(guān)系，根據(jù)同一性求出參數(shù)，即可得到圓C的方程；
（II）設(shè)斜率為1的直線方程為x-y+a=0，圓C與直線x-y+a=0的交點于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．將直線與圓C方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理結(jié)合OA⊥OB建立關(guān)于x₁、x₂、a的方程組，解出a=-1即可得到存在斜率為1的直線滿足題中的條件．
解答：解：（I）設(shè)圓C方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
在曲線y=x²-6x+1中令x=0，得y=1，則點（0，1）在圓C上，可得1+E+F=0（*）
再令y=0，可得方程x² -6x+1=0與x²+Dx+F=0是同一方程，得D=-6，F(xiàn)=1，
代入（*）解出E=-2，
∴圓C方程為x²+y²-6x-2y+1=0，即（x-3）²+（y-1）²=9
（Ⅱ）設(shè)斜率為1的直線方程為x-y+a=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程組
由消去y，得方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，
∴△=56-16a-4a²＞0．
利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=（a²-2a+1）①，
若OA⊥OB，則可得x₁x₂+y_1^y2=0，
結(jié)合y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，代入可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②聯(lián)解可得a=-1，此時△=56-16a-4a²68＞0．
∴a=-1，得存在斜率為1的直線x-y-1=0，使其與圓C交于A、B兩點滿足OA⊥OB．
點評：本題考查圓的方程的求解，考查學生的待定系數(shù)法和函數(shù)方程思想，以及直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查解析幾何中垂直問題的一般解題思路，屬于中檔題．