12．已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=$\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}f（\sqrt{2}）$，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．a＜c＜b

分析 結(jié)合題意設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而求出a，b，c的大小即可．

解答 解：設(shè)$F（x）=\frac{f（x）}{x-1}$，
則F'（x）=$\frac{f′（x）（x-1）-f（x）}{{（x-1）}^{2}}$＞0，
所以函數(shù)F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
$a=f（2）=（2-1）F（2）=F（2），b=\frac{1}{2}f（3）=\frac{1}{2}（3-1）F（3）=F（3）$，
$c=\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}（\sqrt{2}-1）F（\sqrt{2}）=F（\sqrt{2}）$，
則c＜a＜b，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)F（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．定義實數(shù)a，b間的計算法則如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a，\;\;a≥b\\{b^2}，a＜b\end{array}$．
（1）計算2△（3△1）；
（2）對0＜x＜z＜y的任意實數(shù)x，y，z，判斷x△（y△z）與（x△y）△z的大小，并說明理由；
（3）寫出函數(shù)y=（1△x）+（2△x），x∈R的解析式，作出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域（只需要寫出結(jié)果）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：對任意不小于2的正整數(shù)n，都有a1+a2+a3+…+an-1+kan=tan2-1（k，t為常數(shù)）成立．
（1）k=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{1}{4}$，問：數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？并說明理由；
（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求證：t=0且k＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a為大于零的常數(shù)．．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對于任意的n∈N*，且n＞1時，都有l(wèi)nn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點分別為 F1、F2，一直線過 F1 且與橢圓于 P、Q兩點，則△PQF2的周長12，則m的值為±3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[e，e2]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow{AN}$ （m，n＞0），則m2+n的范圍為[$\frac{7}{4}$，4）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．曲線y=$\frac{1}{x}$與直線y=x，x=e以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=ex-kx，x∈R
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）的極值．

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