Question

如圖，有一個圓柱形的無蓋杯子，它的內(nèi)表面積是100cm²，試用解析式將杯子的容積V（cm³）表示成底面內(nèi)半徑x（cm）的函數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)內(nèi)表面積=底面積+側(cè)面積，求得h與x之間的關(guān)系，從而可求函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：設(shè)杯子的高為h，根據(jù)題意，內(nèi)表面積是100cm²，得100=πx²+2πxh，∴h=

100-πx2

2πx

，
于是V=πx²h=πx²•

100-πx2

2πx

=50x-

πx3

2

．
根據(jù)實際意義，因為h＞0，所以自變量x必須x＞0且πx²＜100，即0＜x＜

10 π

π

．
因此所求函數(shù)是V=50x-

πx3

2

（0＜x＜

10 π

π

）．

點評：（1）對有一定難度的實際問題，當(dāng)難以找到變量x與V的直接關(guān)系；先列出問題中的等量關(guān)系，通過中間變量h，可以使問題變得簡單．
（2）建立函數(shù)關(guān)系包含函數(shù)的定義域，學(xué)生往往忽略了函數(shù)的定義域，本題中x＞0，學(xué)生容易理解，對于πx²＜100，可以根據(jù)h=

100-πx2

2πx

，因為h＞0，所以πx²＜100；它的幾何意義是杯子的底面面積小于內(nèi)表面積．