Question

在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，則的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)△ABC的面積為2，可得△PBC的面積=1，從而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，進(jìn)而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
從而≥，利用導(dǎo)數(shù)，可得最大值為，從而可得的最小值．
解答：解：∵E、F是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF到BC的距離=點(diǎn)A到BC的距離的一半，
∴△ABC的面積=2△PBC的面積，而△ABC的面積=2，∴△PBC的面積=1，
又△PBC的面積=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．
∴=PB×PCcos∠BPC=．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC．
顯然，BP、CP都是正數(shù)，∴BP²+CP²≥2BP×CP，∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=
令y=，則y′=
令y′=0，則cos∠BPC=，此時(shí)函數(shù)在（0，）上單調(diào)增，在（，1）上單調(diào)減
∴cos∠BPC=時(shí)，取得最大值為
∴的最小值是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．