【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(﹣1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點個數(shù);
(2)若對x1x2∈R,且x1<x2 , f(x1)≠f(x2),證明方程f(x)= 必有一個實數(shù)根屬于(x1 , x2).
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時滿足以下條件
①當x=﹣1時,函數(shù)f(x)有最小值0;
②對任意x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤ 若存在,求出a,b,c的值,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵f(﹣1)=0,
∴a﹣b+c=0即b=a+c,
故△=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2
當a=c時,△=0,函數(shù)f(x)有一個零點;
當a≠c時,△>0,函數(shù)f(x)有兩個零點
(2)解:令g(x)=f(x)﹣ ,
∵g(x1)=f(x1)﹣ =
g(x2)=f(x2)﹣ =
∴g(x1)g(x2)=
∵f(x1)≠f(x2),
故g(x1)g(x2)<0
∴g(x)=0在(x1,x2)內(nèi)必有一個實根.
即方程f(x)= 必有一個實數(shù)根屬于(x1,x2)
(3)解:假設a,b,c存在,由①得 =﹣1, =0
∴b=2a,c=a.
由②知對任意x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤
令x=1得0≤f(1)﹣1≤0
∴f(1)=1
∴a+b+c=1
解得:a=c= ,b= ,
當a=c= ,b= 時,f(x)= x2+ x+ = (x+1)2,其頂點為(﹣1,0)滿足條件①,
又f(x)﹣x= x2﹣ x+ = (x﹣1)2,對任意x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤ ,滿足條件②.
∴存在a=c= ,b= ,使f(x)同時滿足條件①、②.
【解析】(1)通過對二次函數(shù)對應方程的判別式進行分析判斷方程根的個數(shù),從而得到零點的個數(shù);(2)若方程f(x)= 必有一個實數(shù)根屬于(x1 , x2),則函數(shù)g(x)=f(x)﹣ 在(x1 , x2)必有一零點,進而根據(jù)零點存在定理,可以證明(3)根據(jù)條件①和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得b=2a,c=a,令x=1,結(jié)合條件②,可求出a,b,c的值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點的相關知識點,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減;函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.即:方程有實數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標軸有交點,函數(shù)有零點才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知公比為負值的等比數(shù)列{an}中,a1a5=4,a4=﹣1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn= + +…+ ,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若在定義域內(nèi)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司咪推廣線下分店,計劃在市的區(qū)開設分店,為了確定在該區(qū)開設分店的個數(shù),該公司對該市已開設分店聽其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記表示在各區(qū)開設分店的個數(shù), 表示這個個分店的年收入之和.
(個) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(百萬元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合與的關系,求關于的線性回歸方程;
(2)假設該公司在區(qū)獲得的總年利潤(單位:百萬元)與之間的關系為,請結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應在區(qū)開設多少個分時,才能使區(qū)平均每個分店的年利潤最大?
(參考公式: ,其中)
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【題目】已知圓和定點,由圓外一點向圓引切線,切點為,且滿足.
(1)求實數(shù),滿足的等量關系;
(2)求線段長的最小值;
(3)若以為圓心所作的圓與圓有公共點,試求半徑取最小值時圓的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(1,2), =(2,﹣2).
(1)設 =4 + ,求 ;
(2)若 + 與 垂直,求λ的值;
(3)求向量 在 方向上的投影.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x﹣4.設圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=﹣x+5上,求圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過點A作圓C的切線,求切線的方程;
(3)若圓C上存在點M,使|MA|=|MO|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
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