【題目】已知函數(shù).

（1）指出函數(shù)的基本性質(zhì)：定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域（結(jié)論不需證明），并作出函數(shù)的圖象；

（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若關于的方程恰有個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）定義域：，是偶函數(shù)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，值域為，作圖見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和值域，并結(jié)合解析式作出該函數(shù)的圖象；

（2）令，可得出不等式在恒成立，然后利用參變量分離法得出，求出函數(shù)的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍；

（3）令，結(jié)合題意可得知關于的方程的兩根，，然后利用二次函數(shù)的零點分布列出關于、的不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.

（1），，函數(shù)是偶函數(shù)，

在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，

函數(shù)的最大值是，無最小值，值域為.

作圖如下：

（2）因為關于的不等式恒成立，

令，則，即不等式在恒成立.

當時，因為，所以.

又，所以；

（3）關于的方程恰有個不同的實數(shù)解即有個不同的解，如下圖所示：

當時，方程有四個根；當時，方程有兩個根；

當或時， 方程無解.

設方程的兩根分別為、，則，.

令，則.

因此，實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

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