Question

如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點E，H分別是邊AB上的點，點K和M分別是邊
AC和BC上的點，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM．
（Ⅰ）求證：E、H、M、K四點共圓；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由AC=AH，AK=AE得四邊形CHEK為等腰梯形，利用等腰梯形的對角互補可得C，H，E，K四點共圓；同理C，E，H，M四點共圓，即可得E，H，M，K均在點C，E，H所確定的圓上．
（Ⅱ）先由（1）得E，H，M，C，K五點共圓，再利用CEHM為等腰梯形得EM=HC，以及由KE=EH可得∠KME=∠ECH，推得△MKE≌△CEH，即可得線段KM的長．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四邊形CHEK為等腰梯形，
注意到等腰梯形的對角互補，
故C，H，E，K四點共圓，（3分）
同理C，E，H，M四點共圓，
即E，H，M，K均在點C，E，H所確定的圓上，證畢．（5分）
（Ⅱ）連接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五點共圓，（7分）∵CEHM為等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3為所求．（10分）
點評：本題第一問考查四點共圓．證明四點共圓的常用方法有：對角互補；外角等于內(nèi)對角；證明四點在某三點確定的圓上等等．本題用的是方法三．