【題目】如圖,三棱柱的所有棱長都是2,面,,分別是,的中點.
(1)求證:平面;
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出,從而平面平面,進(jìn)而平面,,再求出,由此能證明平面.
(2)本問方法較多,可用割補(bǔ)法,轉(zhuǎn)換頂點法,構(gòu)造法等,其中割補(bǔ)法較為方便,將轉(zhuǎn)化為,即可求解.
解:(1)∵,是的中點,
∴,
∵三棱柱中平面,
∴平面平面,且平面平面,
∴平面,
∵平面,
∴.
又∵在正方形中,,分別是,的中點,
∴,
又,
∴平面.
(2)解法一(割補(bǔ)法):
.
解法二(利用平行頂點輪換):
∵,
∴,
∴
.
解法三(利用對稱頂點輪換):
連結(jié),交于點,
∵為的中點,
∴點到平面的距離等于點到平面的距離.
∴
.
解法四(構(gòu)造法):
連結(jié),交于點,則為的中點,再連結(jié).
由題意知在中,,,所以,且,
又,,所以,所以,
又,
∴面,
∴.
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【題目】等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,,現(xiàn)將沿BD折起,則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時,直線AC與平面ABD所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
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【題目】江南某濕地公園內(nèi)有一個以為圓心,半徑為20米的圓形湖心洲.該湖心洲的所對兩岸近似兩條平行線,且兩平行線之間的距離為70米.公園管理方擬修建一條木棧道,其路線為(如圖,在右側(cè)).其中,與圓相切于點,米.設(shè),滿足.
(1)試將木棧道的總長表示成關(guān)于的函數(shù),并指出其定義域;
(2)求木棧道總長的最短長度.
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【題目】在古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”,由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形,中間空出一個小正方形(如圖陰影部分)。若直角三角形中較小的銳角為a,F(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢,要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為,則_____________。
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【題目】已知過原點的動直線與圓: 交于兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)軸上是否存在定點,使得當(dāng)變動時,總有直線的斜率之和為0?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某商店銷售某海鮮,統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量(,單位:公斤),其頻率分布直方圖如圖所示,該海鮮每天進(jìn)貨1次,商店每銷售1公斤可獲利50元;若供大于求,剩余的削價處理,每處理1公斤虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其它商店調(diào)撥,銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤,商店的日利潤為元.
(1)求商店日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式;
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.
①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù);
②估計日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
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【題目】如圖所示,四棱錐中,側(cè)面底面,底面是平行四邊形,,,,是中點,點在線段上.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若 ,求實數(shù)使直線與平面所成角和直線與平面所成角相等.
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【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).
(1)證明:在定義域上存在唯一的極大值點;
(2)若存在,使,證明:.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)存在兩個極值點,,且,證明:.
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