Question

已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A、B、C成等差數(shù)列，b=1，記角A=x，a+c=f （x）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[，]時(shí)，求f （x）的取值范圍；
（Ⅱ）若，求sin2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列和三角形內(nèi)角和，求得B，進(jìn)而利用正弦定理求得b，進(jìn)而把a(bǔ)和c的表達(dá)式代入函數(shù)，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．
（Ⅱ）把x-代入函數(shù)解析式，求得sinx的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosx的值，代入正弦函數(shù)的二倍角公式中即可求得答案．
解答：解：（I）由已知A、B、C成等差數(shù)列，得2B=A+C，
∵在△ABC中，A+B+C=π，于是解得，．
∵在△ABC中，，b=1，
∴=
===，
即．
由≤x≤得≤x+≤，于是≤f（x）≤2，
即f（x）的取值范圍為[，2]．

（Ⅱ）∵，即．
∴．
若，此時(shí)由知x＞，這與矛盾．
∴x為銳角，故．
∴sin2x=2sinxcosx=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的定義域和值域．兩角和公式的化簡(jiǎn)求值等．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．