Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1-x）（a為常數(shù)）．
（1）若f（x）在x=-1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)f（x）在x=-1處有極值，得到f′（-1）=0，求得a的值；
（2）根據(jù)f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍．

解答：解：(1) f′(x)=2ax-

2

1-x

x∈(-∞，0)
f′（-1）=-2a-1
a=-

1

2

（2）f′（x）≥0在x∈[-3，-2]上恒成立
2ax-

2

1-x

≥0?1-x＞0
∴ax²-ax+1≤0在x∈[-3，-2]上恒成立，
令y=

1

-x2+x

 在∈[-3，-2]上單調(diào)遞減，
∴y_min=-

1

6

．
∴a≤-

1

6

．

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即函數(shù)在某點取得極值的條件，恒成立問題一般采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，在求最值過程中，用到函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．