Question

（2013•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為1，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率k，結(jié)合已知可求a
（II）先求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，需要判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）的正負(fù)，分類討論：分（1）當(dāng)a≥0時(shí)，（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，（3）當(dāng)a=2時(shí)，（4）當(dāng)a＞2時(shí)四種情況分別求解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx，可知，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x＞0}，
且f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

．由題意，f′（2）=4-（a+2）+

a

2

=1，
解得a=2．…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

（x＞0）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=

a

2

．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，

a

2

≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；
令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當(dāng)0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時(shí)，令f′（x）＞0，得0＜x＜

a

2

或x＞1．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

a

2

），（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得

a

2

＜x＜1．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

2

，1）．
（3）當(dāng)

a

2

=1，即a=2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（4）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞

a

2

，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（

a

2

，+∞）．
令f′（x）＜0，得1＜x＜

a

2

．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，

a

2

）．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．