【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng),時,求函數(shù)在上的最小值;
(2)若函數(shù)在與處的切線互相垂直,求的取值范圍;
(3)設(shè),若函數(shù)有兩個極值點,,且,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)或;(3)
【解析】
(1)求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)性,從而得到;(2)利用切線互相垂直可知,展開整理后可知關(guān)于的方程有解,利用可得關(guān)于的不等式,解不等式求得結(jié)果;(3)根據(jù)極值點的定義可得:,,從而得到且,進而得到,令,利用導(dǎo)數(shù)可證得,從而得到所求范圍.
(1)當(dāng),時,,
則
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增
(2)由解析式得:
,
函數(shù)在與處的切線互相垂直
即:
展開整理得:
則該關(guān)于的方程有解
整理得:,解得:或
(3)當(dāng)時,
是方程的兩根 ,
且, ,
令,則
在上單調(diào)遞增
即:
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【題目】已知橢圓的焦距為,且,圓與軸交于點,,為橢圓上的動點,,面積最大值為.
(1)求圓與橢圓的方程;
(2)圓的切線交橢圓于點,,求的取值范圍.
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【題目】已知定義域為的單調(diào)減函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程有實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,一條小河岸邊有相距的兩個村莊(村莊視為岸邊上兩點),在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)(集鎮(zhèn)視為點),到岸邊的距離為,河寬為,通過測量可知,與的正切值之比為.當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂,擬在小河上建一座橋(分別為兩岸上的點,且垂直河岸,在的左側(cè)),建橋要求:兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短,已知兩村的人口數(shù)分別是人、人,假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次.設(shè).(小河河岸視為兩條平行直線)
(1)記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和,試用表示;
(2)試確定的余弦值,使得最小,從而符合建橋要求.
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【題目】“微信運動”已成為當(dāng)下熱門的健身方式,小明的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | ||
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
(1)若采用樣本估計總體的方式,試估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極型”,否則為“懈怠型”.根據(jù)小明的統(tǒng)計完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,點是曲線上的動點.點滿足 (為極點).設(shè)點的軌跡為曲線.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知直線的參數(shù)方程是,(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;
(2)設(shè)直線交兩坐標(biāo)軸于,兩點,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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