Question

過點（0，-1）作直線l與圓x²+y²-2x-4y-20=0交于A，B兩點，如果|AB|=8，則直線l的方程為（　　）

A．3x+4y+4=0

B．3x-4y-4=0

C．3x+4y+4=0或y+1=0

D．3x-4y-4=0或y+1=0

Answer 1

分析：設(shè)過（0，-1）的直線l的方程為x=m（y+1），可知x²+y²-2x-4y-20=0的圓心P的坐標(biāo)與圓的半徑r，利用圓心P到l的距離d，弦長之半

1

2

|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形即可求得m的值，繼而可求得直線l的方程．

解答：解：設(shè)過（0，-1）的直線l的方程為x=m（y+1），
∵x²+y²-2x-4y-20=0的圓心P（1，2），半徑r=

1

2

4+16-4×(-20)

=

1

2

×10=5，
設(shè)圓心P到l的距離為d，則d=

|1-3m|

12+m2

，
又|AB|=8，
∴

1

2

|AB|=4，
∵弦心距d，弦長之半

1

2

|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形，r為斜邊，
∴d²+16=25，
∴d²=

(1-3m)2

1+m2

=9，
解得m=-

4

3

．
∴l(xiāng)的方程為：3x+4y+4=0；
若l的方程為y=-1時，圓心P（1，2）到l的距離d=2-（-1）=3，
顯然，弦心距d=3，弦長之半

1

2

|AB|=4，與r=5構(gòu)成直角三角形，滿足題意，
故直線l的方程為3x+4y+4=0或y+1=0；
故選C．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，著重考查弦心距d，弦長之半

1

2

|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與方程思想及運算能力，屬于中檔題．