Question

直線l：kx-y-3k=0，圓C方程為x²+y²-8x-2y+9=0
（1）求證：直線和圓相交；
（2）當圓截直線所得弦最長時，求k的值；
（3）直線將圓分成兩個弓形，當弓形面積之差最大時，求直線方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）將圓的方程化為標準方程，求出直線l過定點，判斷定點在圓內即可；
（2）當圓截直線所得弦最長時，此時直線過圓心；
（3）當弓形面積之差最大時，需要該直線與直線AC垂直即可

解答： （1）證明：將圓的方程化為標準方程得：（x-4）²+（y-1）²=8，
∴圓心坐標為C（4，1），半徑r=2

2

，
直線l：kx-y-3k=0等價為k（x-3）-y=0，則直線過定點A（3，0），
則AC=

(4-3)2+1

=

2

＜2

2

，
即點A在圓內，則直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的公共點；
（2）當圓截直線所得弦最長時，則直線過圓心C，
此時滿足4k-1-3k=0，即k=1．
（3）要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點P的圓的弦長達到最小，
故需要該直線與直線AC垂直即可．
則k_AC=

1-0

4-3

=1，故所求直線的斜率為-1．
即k=-1，
則所求的直線的方程為-x-y+3=01），
即x+y-3=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線過定點問題，綜合考查圓的性質．