Question

已知點是離心率為的橢圓C：上的一點．斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？
（Ⅲ）求證：直線AB、AD的斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，，能導出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為，，△=-8b²+64＞0，設(shè)d為點A到直線BD：的距離，由，故，由此知當b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為．
（Ⅲ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，則k_AD+k_AB==，由此能導出即k_AD+k_AB=0．
解答：解：（Ⅰ）∵，，a²=b²+c²
∴a=2，，∴（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為∴∴△=-8b²+64＞0，①②∵，
設(shè)d為點A到直線BD：的距離，∴∴，
當且僅當b=±2時取等號．
因為±2，所以當b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為（10分）
（Ⅲ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，
則k_AD+k_AB==*
將（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，
即k_AD+k_AB=0（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．