Question

9．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b_n=（1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$）•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（1）若a_n=2^n-1，求S_n；
（2）是否存在等比數(shù)列{a_n}使b_n+2=S_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列{a_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得b_n=（1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$）•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{2}^{n+2}}$，利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（2）設(shè)存在個公比為q的等比數(shù)列{a_n}使b_n+2=S_n對任意n∈N^*恒成立，利用n=1時，b₃=b₁可求得q=±1，檢驗即可得到答案．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n=2^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{（n-1）+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n=（1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$）•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=（1-$\frac{1}{4}$）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n+2}}$，
顯然，數(shù)列{b_n}為首項為$\frac{3}{8}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{\frac{3}{8}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{{2}^{n+2}}$（n∈N^*）．
（2）設(shè)存在個公比為q的等比數(shù)列{a_n}使b_n+2=S_n對任意n∈N^*恒成立，
則n=1時，b₁₊₂=S₁=b₁，即b₃=（1-$\frac{1}{{q}^{2}}$）•$\frac{1}{{a}_{4}}$=（1-$\frac{1}{{q}^{2}}$）•$\frac{1}{{a}_{2}}$，即（1-q²）（$\frac{1}{{q}^{3}}$-$\frac{1}{q}$）=0，
解得：q=±1，
經(jīng)檢驗，當(dāng)q=±1時，b_n=0，滿足b_n+2=S_n對任意n∈N^*恒成立，
故存在公比為±1的等比數(shù)列{a_n}，a_n=1或（-1）^n-1，使b_n+2=S_n對任意n∈N^*恒成立．

點評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．