Question

4．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，設T_n=S_2n-S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n=1+a_na_n+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=$\frac{1}{n}$．于是數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．可得T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．只要證明T_n+1-T_n＞0即可．

解答 （1）解：∵2a_n=1+a_na_n+1，
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$+1=$\frac{n+1}{n}$．
（2）證明：由（1）可得b_n=$\frac{1}{n}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
∴T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．
∴T_n+1-T_n=$\frac{1}{n+1+1}$+$\frac{1}{n+1+2}$+…+$\frac{1}{n+1+n-1}$+$\frac{1}{n+1+n}$+$\frac{1}{n+1+n+1}$-（$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴T_n+1＞T_n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其數(shù)列求和、遞推式的應用、數(shù)列的單調(diào)性，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．