Question

已知數(shù)列的前項和為，若，
⑴證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式；
⑵令，①當(dāng)為何正整數(shù)值時，：②若對一切正整數(shù)，總有，求的取值范圍.

Answer 1

(1)證明詳見解析，；（2）①，②.

試題分析：（1）關(guān)于和的遞推式，一般有兩種方法可解決，1：轉(zhuǎn)化為項的遞推式，根據(jù)遞推式 直接求通項公式，2：轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求，再求通項公式，該題已知數(shù)列前n項和和的遞推關(guān)系，由可的與的關(guān)系，然后由等差數(shù)列定義證明，知道等差數(shù)列后再求通項公式；
（2）①將代入不等式，解不等式可得，②恒成立問題往往可以采取參變分離的方法，或的形式，最后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，即或,該題可轉(zhuǎn)化為求的最大值問題,求的最大值可以結(jié)合函數(shù)的函數(shù)或者單調(diào)性處理，但是注意定義域.
試題解析：（1）令，，即，由

∵，∴，
即數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列， ∴ 
（2）①，即  ②∵，又∵時，
∴各項中數(shù)值最大為，∵對一切正整數(shù)，總有恒成立，因此.