Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng)時，記函數(shù)的最小值為，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）見解析.

【解析】第一問中因為曲線在點處的切線與直線垂直，則說明了函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為-2，利用導(dǎo)數(shù)的運算可參數(shù)a的值。即由，所以，

解得或. 

第二問中因為，

則單調(diào)性的判定就取決于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的解集。那么因為二次項系數(shù)的正負(fù)不定，所以分類兩大類討論即可。

第三問中，

由（Ⅱ）知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，

且

構(gòu)造函數(shù)借助于導(dǎo)數(shù)求解最值得到不等式的證明。

解：（I）的定義域為.

.

根據(jù)題意，有，所以，

解得或.                                       ……3分

（II）.

（1）當(dāng)時，因為，

由得，解得；

由得，解得.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時，因為，

由得 ，解得；

由得，解得.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.         ……9分

（III）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，

且.

，

令，得.

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－
		極大值

是在上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是的最大值點.

所以

.

所以，當(dāng)時，成立.                    ……14分