設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，

證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

 

答案：
解析：

證法一：設(shè)an＝aqn－1，bn＝bpn－1，且p≠q，則cn＝aqn－1＋bpn－1

若為等比數(shù)列為一常數(shù)(n∈N*)p＝q．

∴當(dāng)p≠q時(shí)，數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

證法二：設(shè)cn＝an＋bn成等比數(shù)列，則

(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．

∵{an}與{bn}是等比數(shù)列，∴an2＝an－1·an＋1，bn2＝bn－1·bn＋1

整理上式并將其代入，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1．

設(shè){an}與{bn}的公比分別為p和q（p≠q），

所以，2＝p··q，即2＝．

而＞2，矛盾．

∴cn＝an＋bn不能成等比數(shù)列．

證法三：設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q(p≠q)．

∵cn＝an＋bn，

∴c22－c1c3＝(a1p＋b1q)2－(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝－a1b1(q－p)2．

又∵a1，b1≠0，p≠q，

∴c22－c1c3≠0，即c22≠c1c3．

∴數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

證法四：假設(shè)數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，又設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公比分別為p、q，p≠q．

∵cn＝an＋bn，∴cn＋12＝cn·cn＋2

即(an＋1＋bn＋1）2＝(an＋bn)(an＋2＋bn＋2)．

∴(anp＋bnq)2＝(an＋bn)(anp2＋bnq2)．

化簡(jiǎn)得p2＋q2＝2pq，即p＝q，這與p≠q矛盾．

∴數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè){an}，{bn}是兩個(gè)數(shù)列，M（1，2），An(2，an)，Bn(
n-1
n
，
2
n
)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)．對(duì)n∈N*，若三點(diǎn)M，An，B共線，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足：log2cn=
a1b1+a2b2+…+anbn
a1+a2+…+an
，其中{cn}是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列．求證：點(diǎn)列P1（1，b1），P2（2，b2），…Pn（n，bn）在同一條直線上；
（3）記數(shù)列{an}、{bn}的前m項(xiàng)和分別為Am和Bm，對(duì)任意自然數(shù)n，是否總存在與n相關(guān)的自然數(shù)m，使得anBm=bnAm？若存在，求出m與n的關(guān)系，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè){an}，{bn}均為正項(xiàng)等比數(shù)列，將它們的前n項(xiàng)之積分別記為An，Bn，若
An
Bn
=2n2-n，則
a5
b5
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，對(duì)每一個(gè)k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2，得到新數(shù)列{bn}，設(shè)An、Bn分別是數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）a10是數(shù)列{bn}的第幾項(xiàng)；
（2）是否存在正整數(shù)m，使Bm=2010？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；否則，求出m的值；
（3）設(shè)am是數(shù)列{bn}的第f（m）項(xiàng)，試比較：Bf（m）與2Am的大小，請(qǐng)?jiān)敿?xì)論證你的結(jié)論．

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設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，則a39+b39（　�。�

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（任選一題）
（1）已知α、β為實(shí)數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：
①|(zhì)α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞2
2
，|β|＞2
2

以其中的兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是
①③⇒②
①③⇒②
．
（2）設(shè){an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列，且
lim
n→∞
an
bn
=2，則
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值為
1
8
1
8
．

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