Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為

3

-1，離心率e=

3

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l：y=x+m交E于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（1，0），問是否存在m，使

MP

⊥

MQ

？若存在求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由

a-c= 3 -1 c a = 3 3

，a=

3

，c=1，由此能求出橢圓E的方程．
（2）由

x2 3 + y2 2 =1 y=x+m

，推導(dǎo)出5x²+6mx+3m²-6=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出存在m=

4 11 -6

5

，使得

MP

⊥

MQ

．

解答： 解：（1）橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為

3

-1，離心率e=

3

3

．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
且

a-c= 3 -1 c a = 3 3

，a=

3

，c=1，
從而b²=2…（2分）
∴橢圓E的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）由

x2 3 + y2 2 =1 y=x+m

，
5x²+6mx+3m²-6=0，
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6m

5

，x1x2=

3m2-6

5

，
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2…（6分）
由題意△=36m²-4×5×（3m²-6）＞0，
-

5

＜m＜

5

…（8分）
要

MP

⊥

MQ

，就要

MP

•

MQ

=0，
又 

MP

=(x1-1，y1)，

MQ

=(x2-1，y2)，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0，

6m2-12

5

-

6m(m-1)

5

+m2+1=0，
5m²+6m-7=0…（10分），
m=

4 11 -6

10

或m=

-4 11 -6

10

，
又-

5

＜m＜

5

，∴m=

4 11 -6

5

，
故存在m=

4 11 -6

10

，使得

MP

⊥

MQ

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷和求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．