Question

已知拋物線與直線y=2x
（1）求證：拋物線與直線相交；
（2）求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，a的取值范圍；
（3）當(dāng)a在（2）的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程，只要對(duì)應(yīng)方程的判別式恒大于0即可說明結(jié)論；
（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，在根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方得到關(guān)于a的不等式，解之即可求出a的取值范圍；
（3）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程求出兩根之和與兩根之積，再結(jié)合弦長公式以及第二問中a的取值范圍即可求出拋物線截直線所得弦長的最小值．
解答：解：（1）由
∴直線與拋物線總相交．
（2）∵，其頂點(diǎn)為，
且頂點(diǎn)在直線y=2x的下方，
∴，
即．
（3）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
∴．
∵，
∴當(dāng)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵在于把直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程組有根的問題，再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有根的問題．