(2012•贛州模擬)已知橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的右頂點(diǎn)A(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N.若存在點(diǎn)P,使得線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的取值范圍.
分析:(1)由橢圓右頂點(diǎn)A(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1,建立方程組,即可求出橢圓方程;
(2)不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),求出直線MN的方程代入橢圓C1的方程,根據(jù)直線MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以有△>0,利用線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,建立方程,從而可得h的取值范圍.
解答:解:(1)由題意得
b=1
2•
b2
a
=1
,∴
a=2
b=1
,…(3分)
∴所求的橢圓方程為
y2
4
+x2=1
…(5分)
(2)不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y'|x=t=2t,…(6分)
∴直線MN的方程為y=2tx-t2+h,代入橢圓C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,…(7分)
因?yàn)橹本MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以有△=16t2(t2-h)2-16(1+t2)[(t2-h)2-4]>0
即-(t2-h)2+4+4t2>0,…(8分)
設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則x3=
x1+x2
2
=
t(t2-h)
2(1+t2)
,
設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4,則x4=
t+1
2
,
由題意得x3=x4,即有t2+(1+h)t+1=0,顯然t≠0
h=-
t2+t+1
t
=-(t+
1
t
+1)
(t≠0)…(9分)
∴t4+2t3-2t2+2t+1<0,即(t2+t+1)2-5t2<0
解得-
(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
<t<
-(1+
5
)+
2(1+
5
)
2

-
(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
<-1<
-(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
<0

h=-
t2+t+1
t
=-(t+
1
t
+1)
(-
(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
,-1)
上遞增,
(-1,
-(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
)
上遞減…(11分)
∴當(dāng)t=-1時(shí),h取到最小值1;…(12分)
當(dāng)t=-
(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
t=
-(1+
5
)+
2(1+
5
)
2
時(shí),h的值都為
5

∴h的取值范圍是[1,
5
)
…(13分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì),考查拋物線的切線,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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π+1
π+1

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2
+ai)i(a∈R)
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AC
+
CB
=2
AM
時(shí),直線l的一般式方程為
x+y-3=0
x+y-3=0

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