【題目】定義:設為
上的可導函數(shù),若
為增函數(shù),則稱
為
上的凸函數(shù).
(1)判斷函數(shù)與
是否為凸函數(shù);
(2)設為
上的凸函數(shù),求證:若
,
,則
恒有
成立;
(3)設,
,
,求證:
.
【答案】(1)不是,
是;(2)詳見解析(3)詳見解析
【解析】試題分析:(1)由函數(shù)的導函數(shù)是否為增函數(shù)可得(2)先證明n=2時,不等式成立,再通過數(shù)學歸納法證明時,不等式成立。(3)令
,
,
,即證:(
)
成立,由(1)得
為凸函數(shù),而
,即證。
試題解析:(1)因為的導函數(shù)不是增函數(shù),所以
不是凸函數(shù),
是;
(2)時,即證:
且
時,
不防設,
,令
因為
且時遞增函數(shù),所以
,即
為單調(diào)遞增函數(shù),
所以,即
;
假設時,結(jié)論成立,
即,
,
,
,有
成立,
則時,
,
,
,
,有
所以時,結(jié)論也成立,
綜合以上可得,原結(jié)論成立.
(3)令,
,
,即證:(
)
成立,
由(1)得為凸函數(shù),而
,
有
而,同理有:
,
則成立,得證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設,若存在常數(shù)
,使得對任意
,均有
,則稱
為有界集合,同時稱
為集合
的上界.
(1)設、
,試判斷
、
是否為有界集合,并說明理由;
(2)已知,記
(
).若
,
,且
為有界集合,求
的值及
的取值范圍;
(3)設均為正數(shù),將
中的最小數(shù)記為
.是否存在正數(shù)
,使得
為有界集合
,
均為正數(shù)
的上界,若存在,試求
的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1.
(1)寫出a1 , a2 , a3 , 并推測an的表達式;
(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],g(x)= ,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論a=1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+ ;
(3)是否存在實數(shù)a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖所示程序框圖,若輸入a,b,i的值分別為6,4,1,則輸出a和i的值分別為( )
A.2,4
B.3,4
C.2,5
D.2,6
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸),一位居民的月用水量不超過
的部分按平價收費,超過
的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照
,
,
,
分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該城市居民中隨機抽取3人,記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為,求
的分布列與數(shù)學期望.
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計
的值(精確到0.01),并說明理由.
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