Question

（2012•寶雞模擬）（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥�題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分）
A．（不等式選做題）若關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[3，+∞）

．
B．（幾何證明選做題）如圖所示，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)C點(diǎn)的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=2

7

，AB=BC=3，則AC長(zhǎng)

3 7

2

．
C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)系下，直線ρcos(θ-

π

4

)=

2

與圓ρ=

2

的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是

1

．

Answer 1

分析：A． 由已知條件利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|x+1|+|x-2|≥3，結(jié)合題意可得a≥3．
B．結(jié)合線割線定理，我們可以求出DB的長(zhǎng)，再由△DBC∽△DCA根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出AC的長(zhǎng)．
C．把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，將此距離和圓的半徑作對(duì)比，得出結(jié)論．

解答：解：A．∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，即|x+1|+|x-2|≥3，
由關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，知a≥3，
故答案為[3，+∞）．
B．由切割線定理得：DB•DA=DC²，即DB（DB+BA）=DC²，∴DB²+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴

BC

CA

=

DB

BC

，解得AC=

BC•DC

BD

=

3 7

2

．
故答案為

3 7

2

．
C．直線ρcos（θ-

π

4

）=

2

 即

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=

2

，化為直角坐標(biāo)方程為 x+y-2=0，
圓ρ=2 即 x²+y²=4，圓心到直線的距離等于

|0+0-2|

2

=

2

＜2（半徑），
故直線和圓相交，故直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
故答案為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式、有關(guān)絕對(duì)值不等式恒成立的問(wèn)題．與圓有關(guān)的比例線段，相似三角形的性質(zhì)．把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．