Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0，a、b為常數(shù)）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有兩相等實根
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數(shù)m的范圍．
（3）是否存在實數(shù)m和n（m＜n ），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值．

Answer 1

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x），得函數(shù)的對稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實根，即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根，利用△=0可得關(guān)于a，b的方程，由此可求出a，b的值．
（2）區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上恒為正，借助二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可求參數(shù)．
（3）本題主要是借助函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)在[m，n]上的單調(diào)性，找到區(qū)間中那個自變量的函數(shù)值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說明存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）的對稱軸為x=1即-

b

2a

=1即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實根∴ax²+bx=x即ax²+（b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，
即-

1

2

x2+x＞2x+m在區(qū)間[-1，1]上恒成立
 即x²+2x+2m＜0在區(qū)間[-1，1]上恒成立故有

1-2+2m＜0 1+2+2m＜0

解得m＜-

3

2

 即當(dāng)m＜-

3

2

時，在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方
（3）f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1) 2+

1

2

≤

1

2

   故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

  又函數(shù)的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增則有

f(m)=3m f(n)=3n

  解得

m=0或m=-4 n=0或n=-4

，又m＜n，故m=-4，n=0

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)考查綜合利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象轉(zhuǎn)化解題，（1）中通過有相等的0根這一特殊性求參數(shù)；（2）中將函數(shù)圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)在區(qū)間上大于0恒成立的問題，借助函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化；（3）解法入手中最為巧妙，根據(jù)其圖象開口向下這一性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，利用最大值解出參數(shù)n的取值范圍，從而結(jié)合對稱軸為x=1得出函數(shù)在區(qū)間[m，n]單調(diào)性，得到方程組

f(m)=3m f(n)=3n

求參數(shù)，題后應(yīng)好好總結(jié)每個小題的轉(zhuǎn)化規(guī)律．