Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求證：a≠1時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列，并求{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)，，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n．
（3）設(shè)、、．記d_n=c_2n-c_2n-1，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n+1=ca_n+1-c，可得a_n+1-1=c（a_n-1），從而可得a≠1時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列，即可求{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的和；
（3）確定數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)．利用放縮法求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1時(shí)，{a_n-1}等比數(shù)列．
∵a₁-1=a-1，∴，∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴S_n=
∴S_n=
兩式相減可得S_n==1-
∴
（3）證明：，

∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．