Question

17．若函數(shù)f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值為4．

Answer 1

分析 由題意得f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=-$\frac{1}{4}$x⁴-x³+x²+4x．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得到f（x）的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，
∴f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，
即b=0且（1-4）[（-4）²+a•（-4）+b]=0，
解之得a=4，b=0，
因此，f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x²）（x²+4x）=-$\frac{1}{4}$x⁴-x³+x²+4x，
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=-x³-3x²+2x+4=-（x+1）（x+1+$\sqrt{5}$）（x+1-$\sqrt{5}$）
當(dāng)x∈（-∞，-1-$\sqrt{5}$）∪（-1，-1+$\sqrt{5}$）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（-1-$\sqrt{5}$，-1）∪（-1+$\sqrt{5}$，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{5}$）單調(diào)遞增，在（-1-$\sqrt{5}$，-1）單調(diào)遞減，在（-1，-1+$\sqrt{5}$）單調(diào)遞增，在（-1+$\sqrt{5}$，+∞）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-1-$\sqrt{5}$和x=-1+$\sqrt{5}$時(shí)取極大值，f（-1-$\sqrt{5}$）=f（-1+$\sqrt{5}$）=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題給出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．