Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）記，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)k=2時(shí)，若函數(shù)y=g（x）的圖象在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）為奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得極大值2．
∴
解得a=﹣1，c=3，
∴f（x）=﹣x³+3x
（2）∵g（x）=﹣x²+3+（k+1）lnx，
∴
因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
所以①當(dāng)，k=﹣1時(shí)，g'（x）=﹣2x＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)k＜﹣1時(shí)，k+1＜0，
∵x＞0，
∴．可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③k＞﹣1時(shí)，k+1＞0，
令g'（x）＞0，得，
∵x＞0，
∴﹣2x²+（k+1）＞0，得，
結(jié)合x＞0，得；
令g'（x）＜0，得，
同上得2x²＞（k+1），解得，
∴k＞﹣1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞）
綜上，當(dāng)k≤﹣1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)k＞﹣1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）
（3）當(dāng)k=2時(shí)，g（x）=﹣x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）﹣（x+m）=﹣x²﹣x+3lnx+3﹣m
，
令h'（x）=0，，得x=1，（舍去）．
由函數(shù)y=h（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)h'（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值1﹣m．
由1﹣m＜0得m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．