Question

5．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BB₁，AA₁，CC₁，的中點(diǎn)，若側(cè)棱AA₁與底面三角形的相鄰兩邊都成60°角，則四棱錐D-A₁C₁EF的體積是（　　）

• A． $\frac{{20\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{20\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{50\sqrt{2}}}{9}$
• D． $\frac{{50\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 作A₁O⊥面ABC，垂足為O，連接AO，過O作OG⊥AC，垂足為G，連接A₁G，由題意可知AO平分∠BAC，然后通過解直角三角形求得A₁O，即三棱柱的高，再求出底面三角形的面積，由四棱錐D-A₁C₁EF的體積是原三棱柱體積的三分之一求得答案．

解答 解：斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為5，
如圖所示：
作A₁O⊥面ABC，垂足為O，連接AO，
過O作OG⊥AC，垂足為G，連接A₁G，
∵底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱AA₁與底面相鄰兩邊都成60°，
∴AO平分∠BAC，則∠OAG=30°，
∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥AG，
又OG⊥AG，且A₁O∩OG=O，∴AG⊥平面A₁OG，則AG⊥A₁G．
設(shè)A₁O=x，又AA₁=5，得$AO=\sqrt{25-{x}^{2}}$，
∴$OG=\frac{1}{2}\sqrt{25-{x}^{2}}$，
在Rt△A₁GA中，由AA₁=5，∠A₁AG=60°，得${A}_{1}G=\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△A₁OG中，則${A}_{1}{O}^{2}+O{G}^{2}={A}_{1}{G}^{2}$，
∴${x}^{2}+（\frac{1}{2}\sqrt{25-{x}^{2}}）^{2}=（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}$，解得：$x=\frac{5\sqrt{6}}{3}$．
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴${V}_{D-{A}_{1}{C}_{1}FE}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\frac{5\sqrt{6}}{3}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體的體積，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，明確四棱錐D-A₁C₁EF的體積是原三棱柱體積的三分之一是關(guān)鍵，屬于中檔題．