Question

定義：若在上為增函數(shù)，則稱為“k次比增函數(shù)”，其中. 已知其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）若是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；
（3）求證：.

Answer 1

(1) ;(2)詳見(jiàn)解析；(3)詳見(jiàn)解析.3.詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函數(shù)”，得到在上為增函數(shù)，求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，求最值的問(wèn)題，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)即可得到的單調(diào)區(qū)間，分成,三種情況進(jìn)行分類討論即可函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ,即，則，即可證明：.，
試題解析：（1）由題意知上為增函數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044755886989.png" style="vertical-align:middle;" />在上
恒成立.又，則在上恒成立，
即在上恒成立. 而當(dāng)時(shí)，，所以，
于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是.            4分
（2）當(dāng)時(shí)，，則.
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.  6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044756370430.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
①當(dāng)，即時(shí)，在[]上單調(diào)遞減，
所以.
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以.
③當(dāng)時(shí)，在[]上單調(diào)遞增，所以.
綜上，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.          9分
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，
可得            11分
于是
 


                     14分